Derivação logartmica. Derivar as seguintes funções, tendo previamente tomado o logaritmo de ambos os membros da equação:
y=u1(x) cdot u2(x) cdots un(x)v1(x) cdot v2(x) cdots vn(x)

Passo 1

Temos
y = u1(x),u2(x)cdots un(x)v1(x),v2(x)cdots vn(x)
O conteúdo aqui é derivação logarítmica: vamos tomar ln dos dois lados, usar propriedades de soma de logaritmos e depois diferenciar.

Passo 2

Tomando logaritmo em ambos os lados:
ln y = lnl(u1(x)r)+lnl(u2(x)r)+cdots+lnl(un(x)r) -l[lnl(v1(x)r)+cdots+lnl(vn(x)r)r]
Em notação de somatórios:
ln y = sumi=1^nln ui(x);-;sumj=1^nln vj(x)

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
1y,y' = sumi=1^nui'(x)ui(x) ;-;sumj=1^nvj'(x)vj(x)

Passo 4

Isolando y' e substituindo y de volta:
y' = ygl(sumi=1^nui'(x)ui(x) ;-;sumj=1^nvj'(x)vj(x)gr)
y' = u1(x)cdots un(x)v1(x)cdots vn(x) gl(sumi=1^nui'(x)ui(x) ;-;sumj=1^nvj'(x)vj(x)gr)

Resposta

boxed y' = u1(x)cdots un(x)v1(x)cdots vn(x) gl(sumi=1^nui'(x)ui(x) - sumj=1^nvj'(x)vj(x)gr)

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