Calcular a diferencial da função
y=\operatorname{tg} x
quando x=\frac{\pi}{3} e \Delta x=\frac{\pi}{180}.

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de y=\tan x no ponto x_0=\pi/3 para o incremento \Delta x=\pi/180. O conteúdo envolvido é derivada de funções trigonométricas e o conceito de diferencial dy=f'(x)\,dx.

Passo 2

Começamos encontrando a derivada de y=\tan x. Sabemos que
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^2 x,
onde \operatorname{sec} x=1/\cos x.

Passo 3

Agora avaliamos \operatorname{sec}^2 x em x_0=\pi/3. Como \cos(\pi/3)=1/2, segue que
\operatorname{sec}(\pi/3)=2 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2(\pi/3)=4.

Passo 4

Finalmente, a diferencial é dada por
dy=\frac{dy}{dx}\Big|_{x=\pi/3}\,dx =4\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{\pi}{45}.

Resposta

\displaystyle dy=\frac{\pi}{45}.

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