Calcular 1^a+2^3+ldots+n^a, empregando a relaşão
nu^3=nu(nu+1)(nu+2)-3 nu(nu+1)+nu

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S = 1^3 + 2^3 + cdots + n^3
usando a relação
nu^3 = nu(nu+1)(nu+2) ;-; 3,nu(nu+1);+;nu
O conteúdo aqui é soma de séries de potências e produtos sequenciais, que vamos tratar separando em três somas e usando fórmulas conhecidas para cada uma.

Passo 2

Escrevemos
S ;=;sumnu=1^nnu^3 ;=;sumnu=1^nl[nu(nu+1)(nu+2)r] ;-;3sumnu=1^nl[nu(nu+1)r] ;+;sumnu=1^nnu

Passo 3

Para a primeira soma, note que
nu(nu+1)(nu+2) ;=;4binomnu+23,
então
sumnu=1^nnu(nu+1)(nu+2) =4sumnu=1^nbinomnu+23 =4binomn+34 =n(n+1)(n+2)(n+3)4

Passo 4

Para a segunda soma, usamos
sumnu=1^nnu(nu+1) =sumnu=1^n(nu^2+nu) =sumnu=1^nnu^2+sumnu=1^nnu
Sabemos que
sumnu=1^nnu^2=n(n+1)(2n+1)6, sumnu=1^nnu=n(n+1)2,
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sumnu=1^nnu(nu+1) =n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2 =n(n+1)(n+2)3

Passo 5

Para a terceira soma, temos diretamente
sumnu=1^nnu =n(n+1)2

Passo 6

Substituindo tudo em S:
S =n(n+1)(n+2)(n+3)4 -3cdotn(n+1)(n+2)3 +n(n+1)2
Fatorando n(n+1):
S =n(n+1)l[(n+2)(n+3)4-(n+2)+tfrac12r] =n(n+1),n(n+1)4 =l(n(n+1)2r)^2

Resposta

1^3+2^3+cdots+n^3 =l(n(n+1)2r)^2

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