Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas.
f(x)=x^3+5 x^3+3 xsen x, f(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x)=x^3+5x^3+3xsin x, f(0)=0,
ou seja,
f(x)=6x^3+3xsin x(xneq kpi), f(0)=0
O conteúdo é continuidade de funções definidas por quociente e tipos de descontinuidade. Vamos precisar lembrar que uma função é contínua em a se
limxto af(x)=f(a),
e usar aproximações de sin x perto de zero e analisar zeros de sin x.

Passo 2

Identificamos que o denominador sin x é zero exatamente em
x=kpi, kinZ
Logo, para todo xneq kpi, a fração é quociente de polinômio por função trigonométrica não nula, ambas contínuas, e portanto f é contínua em cada ponto xneq kpi.

Passo 3

Para kneq0, em x=kpi o denominador se anula mas o numerador vale
6(kpi)^3+3(kpi)=kpil(6k^2pi^2+3r)neq0
Assim limxto kpif(x)=pminfty, caracterizando descontinuidade do tipo infinito em cada kpi, kneq0.

Passo 4

Em x=0 temos denominador zero e numerador
6cdot0^3+3cdot0=0,
então a forma é tfrac00. Usamos a aproximação sin xsim x quando xto0:
limxto06x^3+3xsin x =limxto0x(6x^2+3)x =limxto0(6x^2+3)=3
Como limxto0f(x)=3neq f(0)=0, há descontinuidade removível em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo xneq kpi.
Em x=kpi, kneq0, há descontinuidade infinita.
Em x=0 há descontinuidade removível, pois limxto0f(x)=3, mas f(0)=0.

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