Comparar a ordem de grandeza de integral0^x f(xi) d xi em relação a f(x) quando x infty, para as seguintes funçües f(x) :
raizxe^raizx.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a ordem de grandeza de
integral0^x f(xi),dxi
com f(x) quando xtoinfty, sendo
f(x)=raizxe^raizx
O conteúdo aqui é análise assintótica de integrais impropriamente convergentes, usando mudança de variável e propriedades da função gama incompleta.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t=raizxi,
logo xi=t^2 e dxi=2t,dt. Assim,
integral0^xraizxie^raizxi,dxi =integral0^raizxte^t;2t,dt =2integral0^raizxt^2e^-t,dt

Passo 3

Quando xtoinfty temos raizxtoinfty, então
integral0^xf(xi),dxi =2integral0^inftyt^2e^-t,dt =2cdot 2! =4
Ou seja, a integral converge para 4.

Passo 4

Por outro lado,
f(x)=raizxe^raizx
decai exponencialmente a zero quando xtoinfty.

Passo 5

Como integral0^xf(xi),dxito 4neq 0 e f(x)to 0, o quociente
integral0^xf(xi),dxif(x) ;longrightarrow;infty
Logo a integral é de ordem muito maior que f(x).

Resposta

integral0^xf(xi),dxi tende a uma constante ( 4) enquanto f(x)to 0, de modo que
integral0^xf(xi),dxif(x)toinfty,
isto é, integral0^xf(xi),dxi domina f(x) quando xtoinfty.

Exercícios de Livros Relacionados