Calcular os seguintes limites:
lim x infty x[(1+1x)^x-e].

Passo 1

O enunciado pede
limx to infty xl[l(1+tfrac1xr)^x-er]
Para resolver, vamos usar expansão assintótica via séries de Taylor aplicadas a ln(1+u) e depois exponenciação, para obter a forma de (1+1/x)^x até ordem 1/x.

Passo 2

Começamos analisando o logaritmo
lnl((1+1/x)^xr) = x,ln!l(1+tfrac1xr)
Como u=1/xto0, usamos
ln(1+u)=u-tfracu^22+tfracu^33+O(u^4)
Substituindo u=1/x:
lnl((1+1/x)^xr) = xl(tfrac1x-tfrac12x^2+tfrac13x^3+O(tfrac1x^4)r) =1-tfrac12x+tfrac13x^2+O(tfrac1x^3)

Passo 3

Exponenciando,
(1+1/x)^x =expl(1-tfrac12x+tfrac13x^2+O(tfrac1x^3)r) = e;expl(-tfrac12x+tfrac13x^2+O(tfrac1x^3)r)
Como para vto0, exp(v)=1+v+O(v^2), tomamos v=-tfrac12x+O(tfrac1x^2) e obtemos
(1+1/x)^x = el(1-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r) = e-tfrace2x+O(tfrac1x^2)

Passo 4

Substituindo na expressão do limite:
xl[(1+1/x)^x - er] = xl(-tfrace2x+O(tfrac1x^2)r) = -tfrace2+O(tfrac1x)
Como xtoinfty, o termo O(1/x) desaparece, restando
-tfrace2

Resposta

-e2

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