Integrar a equação do circuito elétrico
mu I+rho I=E
am que E=E0 sen omega t, e mu, rho, E0 e omega são constantes.

Passo 1

A equação que descreve o circuito é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
mu,dIdt+rho,I=E0sin(omega t),
onde mu, rho, E0 e omega são constantes. Para resolver precisamos usar o método do fator integrante, que é padrão para equações da forma
dIdt+p(t),I=q(t)

Passo 2

Começamos dividindo tudo por mu para deixar no formato padrão:
dIdt+rhomu,I=E0mu,sin(omega t)

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integralrhomu,dtr) =exp!l(rhomu,tr)
Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
ddtl[I,e^rhomutr] =E0mu,e^rhomutsin(omega t)

Passo 4

Integramos nos dois lados:
I,e^rhomut =integralE0mu,e^rhomutsin(omega t),dt + C
Usando a fórmula padrão
integral e^atsin(omega t),dt =e^atl(asin(omega t)-omegacos(omega t)r)a^2+omega^2,
com a=rhomu, dá
I,e^rhomut =E0mu,e^rhomut!l(tfracrhomusin(omega t) -omegacos(omega t)r)l(tfracrhomur)^2+omega^2+C

Passo 5

Isolando I(t) e simplificando o fator
mul(l(tfracrhomur)^2+omega^2r) =rho^2mu+muomega^2 =rho^2+mu^2omega^2mu,
chegamos a
I(t) =E0rho^2+mu^2omega^2,l(rhosin(omega t)-muomegacos(omega t)r) + C,e^-rhomut

Resposta

I(t) =E0rho^2+mu^2omega^2,l(rhosin(omega t)-muomegacos(omega t)r) + C,exp!l(-rhomutr),
onde C é a constante de integração ajustável pela condição inicial.

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