Calcule aproximadamente (1,002)^20, usando o teorema binomial.

Solução

Vamos mostrar que (1+x)^n cong 1+nx para nx pequeno.
De fato, pelo teorema binomial:
(1+x)^n=1+binomn1 x+binomn2 x^2+ldots+binomnn cdot x^n
(1+x)^n=1+n x+n(n-1)2 x^2+n(n-1)(n-2)3! x^3+ldots x^n
porém
|n(n-1) x^22|<|n^2 x^22|
|n(n-1)(n-2) x^33!|<|n^3 x^33!|
etc.
Se n x é pequeno (próximo de zero), então n^2 x^2, n^3 x^3, etc. são muito pequenos, comparados com nx. Desprezando os termos do desenvolvimento a partir do 3? termo, teremos:
(1+x)^n cong 1+n cdot x.
No nosso exemplo: (1,002)^20=(1+0,002)^20 cong 1+20 cdot 0,002=1,04.
Se calcularmos (1,002)^20 sem a aproximação, obteremos 1,0408.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar (1,002)^20 usando o Teorema Binomial.
O conteúdo principal é o desenvolvimento de (1+x)^n quando x é pequeno, e em particular vamos desprezar termos de ordem superior a x para obter uma expressão simples.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial temos para todo inteiro n>=1:
(1+x)^n =1+binomn1x+binomn2x^2+binomn3x^3+cdots+binomnnx^n
No nosso caso, n=20 e x=0,002, então
(1,002)^20=(1+0,002)^20 =1+20cdot0,002+20cdot192(0,002)^2+cdots

Passo 3

Vamos verificar a ordem de grandeza do termo quadrático:
20cdot192(0,002)^2 =190times(4times10^-6) =7,6times10^-4
Esse valor é muito menor que o termo linear
20cdot0,002=0,04,
logo podemos desprezar todos os termos a partir de x^2 para uma boa aproximação.

Passo 4

Desprezando termos de ordem superior a x, fica
(1,002)^20approx 1 + 20cdot0,002 = 1 + 0,04 = 1,04
Para referência, o valor exato é cerca de 1,0408, então nosso erro é inferior a 0,001.

Resposta

1,04

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