Demonstre que a soma dos quadrados dos
primeiros números inteiros positivos é:
.
Sugestão: Use a identidade
e faça
assumir os valores
.
e faça
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O truque sugerido é usar a identidade de soma telescópica baseada em
e somar essa igualdade para
.
Passo 2
Reescrevemos a identidade de diferenças de cubos isolando
:
Passo 3
Somamos ambos os lados de
até
. No lado esquerdo temos soma telescópica:
No lado direito,
Como
e
, obtemos
Passo 4
Isolando
:
Observe que
. Logo,
Como
, segue