Demonstre que a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é: S=n(2 n+1)(n+1)6.
Sugestão: Use a identidade
(x+1)^3=x^3+3 x^2+3 x+1
e faça x assumir os valores 1,2,3, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = sumk=1^n k^2 = n,(2n+1),(n+1)6
O truque sugerido é usar a identidade de soma telescópica baseada em
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1,
e somar essa igualdade para x=1,2,dots,n.

Passo 2

Reescrevemos a identidade de diferenças de cubos isolando 3x^2:
(x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1

Passo 3

Somamos ambos os lados de x=1 até x=n. No lado esquerdo temos soma telescópica:
sumx=1^nl[(x+1)^3-x^3r] = (2^3-1^3) + (3^3-2^3) + cdots + l((n+1)^3-n^3r) = (n+1)^3 - 1
No lado direito,
sumx=1^n(3x^2+3x+1) = 3sumx=1^nx^2 + 3sumx=1^nx + sumx=1^n1
Como sumx=1^nx = n(n+1)2 e sumx=1^n1 = n, obtemos
(n+1)^3-1 = 3S + 3cdotn(n+1)2 + n

Passo 4

Isolando S:
3S = (n+1)^3-1 ;-; 3n(n+1)2 ;-; n
Observe que (n+1)^3-1 = n^3+3n^2+3n. Logo,
3S = n^3+3n^2+3n - 3n^2+3n2 - n = n^3 + 3n^22 + n2 = n!l(n^2 + tfrac32n + tfrac12r)
Como n^2 + tfrac32n + tfrac12 = (n+1)2n+12, segue
3S = n,(n+1),2n+12 Longrightarrow S = n,(n+1),(2n+1)6

Resposta

S = n,(2n+1),(n+1)6

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