Determine p, sabendo que a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (x+a)^p é igual a 512.

Passo 1

O enunciado pede o valor de p de modo que a soma dos coeficientes numéricos no desenvolvimento de (x+a)^p seja igual a 512. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Binômio e a propriedade de que a soma dos coeficientes de um polinômio f(x) é dada por f(1).

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, temos
(x+a)^p ;=;sumk=0^pbinompkx^ka^,p-k
Para somar todos os coeficientes numéricos (isto é, os binompk junto com as potências de a), basta avaliar esse polinômio em x=1.

Passo 3

Substituindo x=1 em (x+a)^p, obtemos
(1+a)^p ;=;sumk=0^pbinompk1^ka^,p-k ;=;sumk=0^pbinompka^,p-k,
que é exatamente a soma dos coeficientes numéricos desejada.

Passo 4

O enunciado diz que essa soma vale 512. Logo,
(1+a)^p=512
Como 512=2^9, concluímos que
p=9,
independentemente do valor de a, desde que 1+a=2. Se considerarmos o caso geral em que apenas contabilizamos os binomiais (isto é, a genérico), vê-se também que a soma dos binomiais sumk=0^pbinompk=2^p deve ser 512, levando novamente a p=9.

Resposta

p=9

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