Determine
, sabendo que a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de
é igual a 512.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
de modo que a soma dos coeficientes numéricos no desenvolvimento de
seja igual a
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Binômio e a propriedade de que a soma dos coeficientes de um polinômio
é dada por
.
Passo 2
Pelo Teorema do Binômio, temos
Para somar todos os coeficientes numéricos (isto é, os
junto com as potências de
), basta avaliar esse polinômio em
.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
que é exatamente a soma dos coeficientes numéricos desejada.
Passo 4
O enunciado diz que essa soma vale
. Logo,
Como
, concluímos que
independentemente do valor de
, desde que
. Se considerarmos o caso geral em que apenas contabilizamos os binomiais (isto é,
genérico), vê-se também que a soma dos binomiais
deve ser
, levando novamente a
.