Qual o coeficiente de x^n+1 no desenvolvimento de (x+2)^n cdot x^3 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^n+1 no produto
x^3,(x+2)^n
O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial para expandir (x+2)^n e depois identificar o termo de interesse após a multiplicação por x^3.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, temos
(x+2)^n = sumk=0^n binomnk x^k ,2^,n-k

Passo 3

Multiplicando por x^3, obtemos
x^3,(x+2)^n = sumk=0^n binomnk 2^,n-k,x^k+3

Passo 4

Queremos o termo em que o expoente de x seja n+1. Ou seja, precisamos de
k+3 = n+1 Longrightarrow k = n-2
Como 0 <= k <= n, isso exige n>=2, o que faz sentido no contexto.

Passo 5

O coeficiente desse termo é
binomnk,2^,n-k com k=n-2,
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binomnn-2,2^,n-(n-2) = binomn2,2^2 = n(n-1)2times 4 =2,n(n-1)

Resposta

O coeficiente de x^n+1 é 2,n(n-1).

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