Calcule aproximadamente:
sqrt[3](8.01)^4-1sqrt[3]8.01

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
raiz[3](8,01)^4 ;-;1raiz[3]8,01
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial para potências fracionárias: para lvert xrvertll1 e expoente p,
(1+x)^papprox1+p,x+p(p-1)2x^2

Passo 2

Escrevemos 8,01 como
8,01=8l(1+de<ar), de<a=0,018=0,00125
Então
(8,01)^43 =8^43,(1+de<a)^43 =16,(1+de<a)^43,
e
raiz[3]8,01 =8^13,(1+de<a)^13 =2,(1+de<a)^13

Passo 3

Expandimos os fatores binomiais até ordem de<a^2:
(1+de<a)^43 approx1+43de<a+43(43-1)2,de<a^2 =1+43de<a+29,de<a^2,
(1+de<a)^13 approx1+13de<a+13(13-1)2,de<a^2 =1+13de<a-19,de<a^2

Passo 4

Agora cada termo:
raiz[3](8,01)^4 approx16l(1+tfrac43de<a+tfrac29de<a^2r) =16+643,de<a+329,de<a^2,
1raiz[3]8,01 =12,(1+de<a)^13 approx12l[1-l(tfrac13de<a-tfrac19de<a^2r)r] =12-16de<a+19de<a^2
Subtraindo:
16+643de<a+329de<a^2 ;-;l(tfrac12-tfrac16de<a+tfrac19de<a^2r) =15,5+1296,de<a+319,de<a^2

Passo 5

Bastam agora os valores numéricos:
de<a=0,00125, 1296=21,5, 319approx3,4444
Então
15,5 +21,5cdot0,00125 +3,4444cdot(0,00125)^2 approx15,5 +0,026875 +0,0000054 approx15,5268804

Resposta

A aproximação é
15,5269(aproximadamente)

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