Dada a circunferência de equação x^2+y^2-m x-n y+p=0, obtenha a relação entre m, n e p para que a circunferência tangencie os eixos.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2-m,x - n,y + p = 0
e pede a relação entre m, n e p para que ela seja tangente aos eixos coordenados. Vamos usar geometria analítica: convertê-la na forma centro-raio e impor que a distância do centro a cada eixo seja igual ao raio.

Passo 2

Para achar centro e raio, completamos o quadrado em x e em y. Escrevendo
x^2-m,x + y^2-n,y + p = 0
temos
(x - tfracm2)^2 - l(tfracm2r)^2 ;+;(y - tfracn2)^2 - l(tfracn2r)^2 + p = 0
Reagrupando, surge a forma
(x - tfracm2)^2 + (y - tfracn2)^2 = l(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p
Logo o centro é
Cl(tfracm2,,tfracn2r)
e o raio
r = raizl(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p,

Passo 3

Para ser tangente ao eixo x, a distância do centro ao eixo x (que é lvert yCrvert) deve igualar r. Como yC = tfracn2, impomos
llvert tfracn2rrvert = raizl(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p,
Elevando ao quadrado,
l(tfracn2r)^2 = l(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p Longrightarrow p = l(tfracm2r)^2 = m^24

Passo 4

Para ser tangente ao eixo y, a distância do centro ao eixo y (que é lvert xCrvert) deve igualar r. Como xC = tfracm2, impomos
llvert tfracm2rrvert = raizl(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p,
Elevando ao quadrado,
l(tfracm2r)^2 = l(tfracm2r)^2 + l(tfracn2r)^2 - p Longrightarrow p = l(tfracn2r)^2 = n^24

Passo 5

Das duas expressões para p obtemos
m^24 = p = n^24 Longrightarrow m^2 = n^2 = 4,p

Resposta

A circunferência tangencia ambos os eixos se, e somente se,
m^2 = n^2 = 4,p

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