Calcule a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central medindo:
120^circ

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular de raio R e com ângulo central de 120^circ.
Aqui o segmento é a região limitada por um arco de circunferência de ângulo theta=120^circ e pela corda que une as extremidades desse arco. Para encontrar essa área, vamos usar que
  • a área do setor circular de ângulo theta é tfrac12R^2theta,
  • a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda é tfrac12R^2sintheta.

Passo 2

Convertemos o ângulo para radianos:
theta = 120^circ = 2pi3
Aplicando a fórmula da área do setor:
Asetor = 12,R^2,theta = 12,R^2cdot2pi3 = pi R^23

Passo 3

Agora calculamos a área do triângulo isósceles de vértices no centro e nas extremidades do arco usando tfrac12R^2sintheta:
Atriângulo = 12,R^2,sin!l(tfrac2pi3r) = 12,R^2cdotraiz32 = R^2raiz34 â

Passo 4

A área do segmento circular é a área do setor menos a área do triângulo:
Asegmento = Asetor - Atriângulo = pi R^23 - R^2raiz34 = R^2!l(pi3 - raiz34r) â

Resposta

Asegmento = R^2!l(pi3 - raiz34r)

Exercícios de Livros Relacionados