Calcule a área da superfície limitada por seis círculos de raio unitário com centros nos vértices de um hexágono regular de lado 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região interna “presa” entre seis círculos de raio unitário cujos centros formam um hexágono regular de lado 2. Essa região central é obtida tomando o hexágono de lado 2 e retirando de cada vértice o setor circular que fica dentro dele. Vamos usar:
  1. A fórmula da área do hexágono regular de lado s:
Ahex = 3raiz32,s^2
  1. A área de um segmento circular de raio r e ângulo central theta:
Aseg = r^22,l(theta - sinthetar)

Passo 2

Calcular a área do hexágono de lado 2:
Ahex = 3raiz32times(2)^2 = 6raiz3

Passo 3

Em cada vértice do hexágono há um círculo de raio 1. As duas arestas incidentes ao vértice têm seus pontos médios distando 1 do centro, e a corda que une esses médios tem comprimento
c = raiz3
Essa corda subtende no círculo o ângulo theta dado por
c = 2rsintheta2 Longrightarrow raiz3 = 2sintheta2 Longrightarrow theta = 2pi3
Logo, cada segmento circular interno tem área
Aseg = 1^22l(theta - sinthetar) = 12l(tfrac2pi3 - sintfrac2pi3r) = pi3 - raiz34

Passo 4

A área da região central é a área do hexágono menos a soma dos seis segmentos:
A = Ahex ;-; 6,Aseg = 6raiz3 ;-; 6l(tfracpi3 - tfracraiz34r) = 6raiz3 - 2pi + tfrac6raiz34 = 15raiz32 - 2pi

Resposta

boxed15raiz32 ;-; 2pi

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