Calcule a área da superfície limitada por seis círculos de raio unitário com centros nos vértices de um hexágono regular de lado 2.
Passo 1
O enunciado pede a área da região interna “presa” entre seis círculos de raio unitário cujos centros formam um hexágono regular de lado
. Essa região central é obtida tomando o hexágono de lado
e retirando de cada vértice o setor circular que fica dentro dele. Vamos usar:
- A fórmula da área do hexágono regular de lado
:
- A área de um segmento circular de raio
e ângulo central :
Passo 2
Calcular a área do hexágono de lado
:
Passo 3
Em cada vértice do hexágono há um círculo de raio
. As duas arestas incidentes ao vértice têm seus pontos médios distando
do centro, e a corda que une esses médios tem comprimento
Essa corda subtende no círculo o ângulo
dado por
Logo, cada segmento circular interno tem área
Passo 4
A área da região central é a área do hexágono menos a soma dos seis segmentos: