Determine a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as áreas do círculo inscrito e do círculo circunscrito a um hexágono regular de lado a. Vamos usar fórmulas de polígonos regulares para encontrar o raio do círculo circunscrito ( R) e o raio do círculo inscrito ( r), e depois comparar Ainsc=pi r^2 com Acirc=pi R^2.

Passo 2

Para um polígono regular de n lados de comprimento a, o raio da circunferência que passa pelos vértices é
R = a2sinl(tfracpinr)
No caso do hexágono regular ( n=6), sin(pi/6)=tfrac12, logo
R = a2cdot12 = a

Passo 3

O raio do círculo inscrito num polígono regular é
r = a2tanl(tfracpinr)
Para n=6, tan(pi/6)=tfrac1raiz3, daí
r = a2cdot1raiz3 = araiz32

Passo 4

Agora calculamos a razão das áreas:
AinscAcirc = pi r^2pi R^2 = (rR)^2 = (tfracaraiz32a)^2 = 34

Resposta

34

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