Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo, com 192 cm^3 de volume, diagonal medindo o triplo da diagonal de uma das faces de menor área, que é o triplo da menor dimensão do paralelepípedo.

Solução

Sendo x, y e z (com x>y>z ) as medidas das dimensões, temos:
x cdot y cdot z=192
d=3 f Rightarrow raizx^2+y^2+z^2=3 raizy^2+z^2
f=3 z Rightarrow raizy^2+z^2=3 z
(3) Rightarrow y^2+z^2=9 z^2 Rightarrow y^2=8 z^2 Rightarrow y=2 raiz2 z
(2) Rightarrow x^2+y^2+z^2=9(y^2+z^2) Rightarrow x^2=72 z^2 Rightarrow x=6 raiz2 z
Substituindo y exem (1), temos:
6 raiz2 z cdot 2 raiz2 z cdot z=192 Rightarrow 24 z^3=192 Rightarrow z=2
Temos, então: z=2, y=4 raiz2 e x=12 raiz2
Área: S=2(x y+x z+y z) Rightarrow S=2(96+8 raiz2+24 raiz2) Rightarrow
Rightarrow S=64(3+raiz2)
Resposta: A área total é 64(3+raiz2) cm^2.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um paralelepípedo retângulo cujas arestas medem x>y>z>0. As condições são:
– Volume igual a 192 cm^3.
– A diagonal principal vale três vezes a diagonal da face de menor área.
– Essa diagonal dessa menor face vale três vezes a menor aresta z.
Precisamos usar relações entre volume, diagonais e resolver para x,y,z.

Passo 2

Traduzimos as condições em equações:
xcdot ycdot z = 192
raizx^2 + y^2 + z^2 = 3,raizy^2 + z^2
raizy^2 + z^2 = 3,z

Passo 3

Da terceira equação, quadrando raizy^2 + z^2 = 3z obtemos
y^2 + z^2 = 9z^2
Logo
y^2 = 8z^2 Longrightarrow y = 2raiz2,z

Passo 4

Da segunda condição, quadrando raizx^2 + y^2 + z^2 = 3raizy^2 + z^2 resulta
x^2 + y^2 + z^2 = 9,(y^2 + z^2)
Como y^2+z^2=9z^2, segue
x^2 = 9cdot9z^2 - (y^2+z^2) = 8cdot9z^2 = 72z^2 Longrightarrow x = 6raiz2,z

Passo 5

Substituindo x = 6raiz2z e y = 2raiz2z na equação do volume x,y,z=192:
6raiz2z;cdot;2raiz2z;cdot;z = 192 Longrightarrow 24,z^3 = 192 Longrightarrow z = 2

Passo 6

Com z=2 vem
y = 2raiz2cdot 2 = 4raiz2, x = 6raiz2cdot 2 = 12raiz2

Passo 7

A área total do paralelepípedo é
S = 2,(xy + xz + yz)
Calculando cada termo:
xy = 12raiz2cdot 4raiz2 = 96, xz = 12raiz2cdot 2 = 24raiz2, yz = 4raiz2cdot 2 = 8raiz2
Então
S = 2l(96 + 24raiz2 + 8raiz2r) = 2l(96 + 32raiz2r) = 192 + 64raiz2 = 64,(3+raiz2)

Resposta

A área total é 64,(3+raiz2) cm^2.

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