Calcule as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta
.
Passo 1
O enunciado pede as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta
. Para isso vamos precisar das fórmulas do raio da esfera circunscrita (
) e do raio da esfera inscrita (
) em um tetraedro regular, além das expressões usuais da área (
) e do volume (
) de uma esfera de raio
.
Passo 2
Em um tetraedro regular todos os vértices estão a mesma distância do centro (circuncentro), que chamamos de
. A fórmula conhecida para o raio da esfera circunscrita é
Passo 3
O raio da esfera inscrita (
) é a distância do centro do tetraedro a uma de suas faces. Em um tetraedro regular vale a relação
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Passo 4
Agora calculamos as áreas das esferas.
Área da circunscrita:
Área da circunscrita:
Área da inscrita:
Passo 5
Agora calculamos os volumes das esferas.
Volume da circunscrita:
Volume da circunscrita:
Volume da inscrita:
Resposta
Esfera circunscrita:
,
,
.
Esfera inscrita:
,
,
.