Calcule as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta a. Para isso vamos precisar das fórmulas do raio da esfera circunscrita ( R) e do raio da esfera inscrita ( r) em um tetraedro regular, além das expressões usuais da área ( 4pi rho^2) e do volume ( tfrac43pi rho^3) de uma esfera de raio rho.

Passo 2

Em um tetraedro regular todos os vértices estão a mesma distância do centro (circuncentro), que chamamos de R. A fórmula conhecida para o raio da esfera circunscrita é
R ;=;araiz64

Passo 3

O raio da esfera inscrita ( r) é a distância do centro do tetraedro a uma de suas faces. Em um tetraedro regular vale a relação
r ;=;R3,
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r ;=;13,araiz64 ;=;araiz612

Passo 4

Agora calculamos as áreas das esferas.
Área da circunscrita:
Acirc =4pi R^2 =4pil(araiz64r)^2 =4pi;6a^216 =3pi a^22
Área da inscrita:
Ains =4pi r^2 =4pil(araiz612r)^2 =4pi;6a^2144 =pi a^26

Passo 5

Agora calculamos os volumes das esferas.
Volume da circunscrita:
Vcirc =43pi R^3 =43pil(araiz64r)^3 =43pi;6raiz6,a^364 =pi a^3raiz68
Volume da inscrita:
Vins =43pi r^3 =43pil(araiz612r)^3 =43pi;6raiz6,a^31728 =pi a^3raiz6216

Resposta

Esfera circunscrita:
R=dfracaraiz64,
Acirc=dfrac3pi a^22,
Vcirc=dfracpi a^3raiz68.
Esfera inscrita:
r=dfracaraiz612,
Ains=dfracpi a^26,
Vins=dfracpi a^3raiz6216.

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