Um tetraedro regular é circunscrito a uma esfera. Se a área da superfície da esfera é 3 pi m^2, calcule o volume do tetraedro.

Passo 1

O enunciado dá a área da superfície da esfera inscrita no tetraedro regular como 3pi m^2 e pede o volume do tetraedro. Vamos precisar de duas fórmulas do tetraedro regular de aresta a:
  1. O raio da esfera inscrita (inradius)
r = araiz612
  1. O volume
V = a^36raiz2

Passo 2

Da área da esfera inscrita ,4pi r^2 = 3pi, obtemos r:
4pi r^2 = 3pi Longrightarrow r^2 = 34 Longrightarrow r = raiz32 m

Passo 3

Usando a relação r = tfracaraiz612, isolamos a:
a = 12,rraiz6 = 2raiz6,r

Passo 4

Substituindo r = tfracraiz32 em a = 2raiz6,r:
a = 2raiz6,raiz32 = raiz6,raiz3 = raiz18 = 3raiz2 m

Passo 5

Finalmente, aplicamos V = tfraca^36raiz2 com a = 3raiz2:
a^3 = (3raiz2)^3 = 27cdot2raiz2 = 54raiz2,
V = 54raiz26raiz2 = 9 m^3

Resposta

O volume do tetraedro é 9 m^3.

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