1. Calcule d y / d x em cada caso.
    (b) x^2+ln xy+3 y+2=0.

Passo 1

O enunciado define y implicitamente pela equação
x^2+lnxy+3y+2=0
Queremos encontrar dydx usando derivação implícita. Para isso vamos precisar:
  • Derivar x^2 em relação a x.
  • Usar que lnxy=ln x-ln y e aplicar a regra da cadeia.
  • Derivar 3y tratando y como função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • ddx(x^2)=2x.
  • ddxl(lnxyr)=ddx(ln x)-ddx(ln y) = 1x-1y,dydx
  • ddx(3y)=3,dydx
  • ddx(2)=0
Somando tudo e igualando a zero, vem
2x+l(1x-1ydydxr)+3dydx=0

Passo 3

Agrupamos os termos em dydx:
2x+1x ;-;1ydydx+3dydx=0 Longrightarrow 2x+1x ;+;l(3-1yr)dydx=0
Isolando dydx:
l(3-1yr)dydx = -l(2x+1xr) Longrightarrow dydx = -2x+tfrac1x3-tfrac1y
Para simplificar, note que
3-1y = 3y-1y,
assim
dydx = -l(2x+tfrac1xr)y3y-1 = -(2x^2+1),yx,(3y-1)

Resposta

boxeddydx = -(2x^2+1),yx,(3y-1)

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