1. Calcule d y / d x em cada caso.
    (f) y=ln (x^2 raizx^4+1);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = lnl(x^2raizx^4+1r)
Para resolver, vamos usar as propriedades dos logaritmos (produto e potência) para simplificar a expressão antes de derivar, e em seguida aplicar a regra
ddxln u = u'u
juntamente com a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando
ln(ab)=ln a+ln b
e
ln(a^k)=kln a,
temos
y = ln(x^2) + lnl((x^4+1)^1/2r) = 2ln x + tfrac12ln(x^4+1)

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • Para 2ln x: ddx[2ln x] = 2cdot1x
  • Para tfrac12ln(x^4+1):
    pela regra da cadeia, ddxl[tfrac12ln(x^4+1)r] = tfrac12cdot4x^3x^4+1 = 2x^3x^4+1
Somando,
dydx = 2x + 2x^3x^4+1

Passo 4

Podemos também juntar em uma única fração:
dydx = 2(x^4+1) + 2x^4x(x^4+1) = 4x^4+2x(x^4+1) = 2(2x^4+1)x(x^4+1)

Resposta

dydx = 2x + 2x^3x^4+1

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