A região sob y=e^x de x=0 a x=3 é girada ao redor do eixo x. Calcule o volume gerado dessa maneira.

Passo 1

Temos a região limitada por y=e^x, o eixo x e as retas x=0 e x=3. Ao girar essa região em torno do eixo x, gera-se um sólido de revolução. O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução usando o método dos discos.

Passo 2

No método dos discos, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio r=y(x) e área pi [y(x)]^2. Assim, o volume é dado por
V = integral0^3 pi [y(x)]^2 , dx

Passo 3

Substituindo y(x)=e^x, temos
V = integral0^3 pi [e^x]^2 , dx = pi integral0^3 e^2x , dx

Passo 4

Para resolver integral0^3 e^2x , dx, usamos a regra da integral de exponencial:
integral e^2x , dx = 12 e^2x
Aplicando os limites de 0 a 3 resulta em
integral0^3 e^2x , dx = 12l(e^6 - e^0r) = 12(e^6 - 1)

Passo 5

Multiplicando pelo fator pi, o volume do sólido de revolução é
V = pi cdot 12(e^6 - 1) = pi2(e^6 - 1)

Resposta

V = pi2(e^6 - 1)

Exercícios de Livros Relacionados