1. Calcule d y / d x em cada caso.
    (a) 3 x-y^2+ln x y=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx da equação implícita
3x - y^2 + ln(xy) = 1
Aqui vamos usar diferenciação implícita, aplicando a derivada em cada termo e recorrendo à regra do produto e da cadeia para ln(xy).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddx(3x) ;-;ddx(y^2);+;ddxl(ln(xy)r) ;=;ddx(1)
Como
ddx(3x)=3, ddx(y^2)=2y,dydx, ddx(1)=0,
ficamos com
3 ;-;2y,dydx;+;1xy,ddx(xy);=;0

Passo 3

Para ddx(xy) usamos a regra do produto:
ddx(xy)=y + x,dydx
Logo
1xy,ddx(xy) =1xyl(y + x,dydxr) =1x + 1y,dydx
Substituindo na equação do Passo 2:
3 ;-;2y,dydx ;+;l(1x + 1y,dydxr) ;=;0

Passo 4

Agrupando os termos que contêm dydx:
-2y,dydx + 1y,dydx = -3 - 1x
Fatorando dydx:
dydxl(-2y + 1yr) = -3 - 1x
Isolando dydx, temos
dydx = -3 - 1x-2y + 1y = 3 + 1x2y - 1y

Resposta

dydx = 3 + tfrac1x2y - tfrac1y

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