1. Calcule cada uma das seguintes integrais:
    (l) integral (2 x+3) d x(x+1)(x+2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x+3(x+1)(x+2),dx
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais de uma função racional e a integração de funções do tipo 1x+a. Vamos usar esses conceitos.

Passo 2

Assumimos que
2x+3(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2), obtemos a identidade
2x+3 = A(x+2) + B(x+1)

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
A(x+2) + B(x+1) = (A+B)x + (2A+B)
Comparando com 2x+3, formamos o sistema
A + B = 2, 2A + B = 3
Da primeira equação B = 2 - A. Substituindo na segunda:
2A + (2 - A) = 3 Longrightarrow A = 1, B = 1

Passo 4

Com A = 1 e B = 1, a integral fica
integral 2x+3(x+1)(x+2),dx = integral l(1x+1 + 1x+2r),dx
Integrando termo a termo:
integral 1x+1,dx = lnlvert x+1rvert, integral 1x+2,dx = lnlvert x+2rvert

Passo 5

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos
lnlvert x+1rvert + lnlvert x+2rvert + C
Opcionalmente, podemos combinar os logaritmos:
lnllvert(x+1)(x+2)rrvert + C

Resposta

lnlvert x+1rvert + lnlvert x+2rvert + C

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