*18. Prove que, para todo
e para todos os inteiros positivos
,
onde o símbolo
! (leia-se "
fatorial") denota o produto
. Sugestão: como
para
,
e assim por diante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
e todo inteiro positivo
,
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor de
e prova por indução combinada com estimativas via integração. Vamos usar o fato de que
e que, para
, sempre vale
, permitindo gerar termo a termo a soma de potências.
Passo 2
Mostramos primeiro os casos iniciais para ver o padrão de construção:
Para ,
Para
Para
, usamos que em cada
já temos
(resultado do caso
trocando
por
), então
Isso confirma que
Passo 3
Fazemos agora o passo de indução. Suponha que, para algum
com
, já valha
Como a mesma estimativa vale trocando
por
em
, temos
Assim fechamos o passo de indução e provamos que a desigualdade vale para todo
.
Resposta
Concluímos que, para todo
e todo inteiro positivo
,