*18. Prove que, para todo x>0 e para todos os inteiros positivos n,
e^x>1+x+x^22 !+x^33 !+cdots+x^nn !,
onde o símbolo n ! (leia-se " n fatorial") denota o produto 1 cdot 2 cdot 3 cdot ldots n. Sugestão: como e^t>1 para t>0,
e^x & =1+integral0^x e^t d t>1+integral0^x d t=1+x e^x & =1+integral0^x e^t d t>1+integral0^x(1+t) d t & =1+x+x^22
e assim por diante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x>0 e todo inteiro positivo n,
e^x > 1 + x + x^22! + cdots + x^nn!
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor de e^x e prova por indução combinada com estimativas via integração. Vamos usar o fato de que
e^x = 1 + integral0^x e^t,dt
e que, para t>0, sempre vale e^t>1, permitindo gerar termo a termo a soma de potências.

Passo 2

Mostramos primeiro os casos iniciais para ver o padrão de construção:
Para k=1,
e^x = 1 + integral0^x e^t,dt > 1 + integral0^x 1,dt = 1 + x
Para k=2, usamos que em cada tin(0,x] já temos e^t>1+t (resultado do caso k=1 trocando x por t), então
e^x = 1 + integral0^x e^t,dt > 1 + integral0^x(1+t),dt = 1 + x + x^22
Isso confirma que
e^x > 1 + x e e^x > 1 + x + x^22!

Passo 3

Fazemos agora o passo de indução. Suponha que, para algum k com 2<= k<= n, já valha
e^x > sumi=0^k-1x^ii!
Como a mesma estimativa vale trocando x por t em [0,x], temos
e^x = 1 + integral0^x e^t,dt > 1 + integral0^xsumi=0^k-1t^ii!,dt = 1 + sumi=0^k-11i!integral0^xt^i,dt = 1 + sumi=0^k-1x^,i+1(i+1)! = sumi=0^kx^ii!
Assim fechamos o passo de indução e provamos que a desigualdade vale para todo k<= n.

Resposta

Concluímos que, para todo x>0 e todo inteiro positivo n,
e^x > 1 + x + x^22! + cdots + x^nn!

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