Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
y=(x)^x^x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^,x^x
O conteúdo que vamos usar é derivação de função com base e expoente variáveis, aplicando derivação logarítmica.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência composta:
ln y = x^x,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Como ln y depende de y, temos
y'y = ddxl(x^xln xr)

Passo 4

Para calcular dfracddx(x^xln x), usamos a regra do produto. Primeiro, lembrando que
ddxl(x^xr)=x^x(ln x +1),
vem
ddx(x^xln x) = x^x(ln x +1)ln x ;+; x^xcdot1x = x^xl[(ln x +1)ln x + 1xr]

Passo 5

Simplificando o termo entre colchetes:
(ln x +1)ln x + 1x = (ln x)^2 + ln x + 1x
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y'y = x^xl((ln x)^2 + ln x + tfrac1xr),
e portanto
y' = y;cdot;x^xl((ln x)^2 + ln x + tfrac1xr)

Resposta

y' = x^x^x;x^x;l((ln x)^2 + ln x + tfrac1xr)

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