Determine as retas tangentes à curva y=x e^-x nos pontos x=0, x=1 e x=2, e esboce o gráfico dessa curva.

Passo 1

Resumindo o enunciado: determinar as retas tangentes à curva y = x e^-x nos pontos x=0, x=1 e x=2, e esboçar o gráfico dessa curva. O conteúdo necessário é cálculo de derivadas (regra do produto) e equação da reta tangente na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra do produto:
f'(x)=ddx(x),e^-x+x,ddx(e^-x) =e^-x-x e^-x =e^-x(1-x)

Passo 3

Para x=0, o ponto na curva é (0,f(0))=(0,0) e a inclinação é
f'(0)=e^0(1-0)=1
A reta tangente em ponto-inclinação:
y-0=1,(x-0) Longrightarrow y=x

Passo 4

Para x=1, o ponto é l(1,f(1)r)=l(1,tfrac1er) e a inclinação é
f'(1)=e^-1(1-1)=0
Logo a reta tangente é horizontal:
y=1e

Passo 5

Para x=2, o ponto é l(2,2e^-2r) e a inclinação é
f'(2)=e^-2(1-2)=-e^-2
Em forma ponto-inclinação:
y-2e^-2=-e^-2(x-2),
que simplifica para
y=-e^-2x+4e^-2

Passo 6

Esboço do gráfico de y=x e^-x: a curva passa por (0,0), cresce em 0<x<1 até atingir um máximo em l(1,tfrac1er), depois decresce e aproxima-se da reta horizontal y=0 quando xto+infty. Para x<0 a função é negativa e tende a -infty conforme xto-infty. O gráfico é uma “montanha suave” com vértice em (1,1/e).

Resposta

As retas tangentes nos pontos pedidos são:
y = x
y = 1e
y = -e^-2x + 4e^-2
O esboço da curva y=x e^-x apresenta um máximo em l(1,tfrac1er), parte negativa para x<0, crescimento até (1,1/e) e decrescimento suave aproximando-se de y=0 quando xto+infty.

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