Determine as retas tangentes à curva
nos pontos
e
, e esboce o gráfico dessa curva.
Passo 1
Resumindo o enunciado: determinar as retas tangentes à curva
nos pontos
,
e
, e esboçar o gráfico dessa curva. O conteúdo necessário é cálculo de derivadas (regra do produto) e equação da reta tangente na forma ponto-inclinação.
Passo 2
Calculamos a derivada usando regra do produto:
Passo 3
Para
, o ponto na curva é
e a inclinação é
A reta tangente em ponto-inclinação:
Passo 4
Para
, o ponto é
e a inclinação é
Logo a reta tangente é horizontal:
Passo 5
Para
, o ponto é
e a inclinação é
Em forma ponto-inclinação:
que simplifica para
Passo 6
Esboço do gráfico de
: a curva passa por
, cresce em
até atingir um máximo em
, depois decresce e aproxima-se da reta horizontal
quando
. Para
a função é negativa e tende a
conforme
. O gráfico é uma “montanha suave” com vértice em
.
Resposta
As retas tangentes nos pontos pedidos são:
O esboço da curva
apresenta um máximo em
, parte negativa para
, crescimento até
e decrescimento suave aproximando-se de
quando
.