Calcule as derivadas parciais primeiras da função indicada.
z=-x^3+6 x^2 y^3+5 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função
z = -x^3 + 6,x^2y^3 + 5,y^2
O conteúdo aqui é derivada parcial, em que ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Vamos usar a regra de potência e, quando necessário, a regra do produto.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, derivamos termo a termo em relação a x, considerando y constante:
partialpartial xl(-x^3r) = -3,x^2 (regra de potência).
partialpartial xl(6,x^2y^3r) = 6,y^3cdot 2,x = 12,x,y^3 (produto de constante 6,y^3 por x^2).
partialpartial xl(5,y^2r)=0 (não depende de x).
Portanto,
partial zpartial x = -3,x^2 + 12,x,y^3

Passo 3

Para calcular partial zpartial y, derivamos termo a termo em relação a y, considerando x constante:
partialpartial yl(-x^3r)=0 (não depende de y).
partialpartial yl(6,x^2y^3r) = 6,x^2cdot 3,y^2 = 18,x^2,y^2 (produto de constante 6,x^2 por y^3).
partialpartial yl(5,y^2r)=10,y (regra de potência).
Logo,
partial zpartial y = 18,x^2,y^2 + 10,y

Resposta

partial zpartial x = -3,x^2 + 12,x,y^3, partial zpartial y = 18,x^2,y^2 + 10,y

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