Faça o gráfico de algumas das superfícies de nível associadas com F(x, y, z)=x^2+y^2-z^2 para c=0, c>0 e c<0.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível dadas por
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=c
nos três casos: c=0, c>0 e c<0. O conteúdo aqui é o estudo das quádricas em R^3, em particular cones e hiperbolóides. Para esboçar cada superfície, vamos analisar a equação geral e suas interseções com planos paralelos ao plano xy (planos z=constante).

Passo 2

Caso c=0. A equação fica
x^2+y^2-z^2=0
que pode ser reescrita como
x^2+y^2=z^2
Isto é um cone duplo (duas napas) com vértice na origem, abrindo simetricamente acima e abaixo do plano xy, com semi-ângulo de 45^circ.

Passo 3

Caso c>0. Escrevendo c=a^2 com a>0, temos
x^2+y^2-z^2=a^2 Long<=ftrightarrow x^2+y^2=a^2+z^2
Para cada nível z=z0, a interseção é o círculo de raio raiza^2+z0^2. Como esse raio nunca zera, a superfície é conectada e forma um hiperbolóide de uma folha, alongado ao longo do eixo z.

Passo 4

Caso c<0. Colocando c=-b^2 com b>0, a equação é
x^2+y^2-z^2=-b^2 Long<=ftrightarrow z^2-x^2-y^2=b^2
Para z0^2<b^2 não há pontos reais; para z0^2>b^2, a seção em z=z0 é o círculo de raio raizz0^2-b^2. Isso gera duas napas desconectadas, uma acima e outra abaixo do plano xy: é um hiperbolóide de duas folhas, alinhado ao eixo z.

Passo 5

Como esboçar cada superfície:
  1. Fixe vários valores de z0.
  2. Para cada z0, desenhe o círculo em z=z0 cuja equação é dada pelos passos anteriores.
  3. Una suavemente essas circunferências para formar o cone ou o hiperbolóide correspondente.

Resposta

Para c=0: cone duplo de vértice na origem.
Para c>0: hiperbolóide de uma folha alongado no eixo z.
Para c<0: hiperbolóide de duas folhas, com napas separadas acima e abaixo do plano xy.

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