Faça o gráfico de algumas das superfícies de nível associadas com
para
e
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível dadas por
nos três casos:
,
e
. O conteúdo aqui é o estudo das quádricas em
, em particular cones e hiperbolóides. Para esboçar cada superfície, vamos analisar a equação geral e suas interseções com planos paralelos ao plano
(planos
).
Passo 2
Caso
. A equação fica
que pode ser reescrita como
Isto é um cone duplo (duas napas) com vértice na origem, abrindo simetricamente acima e abaixo do plano
, com semi-ângulo de
.
Passo 3
Caso
. Escrevendo
com
, temos
Para cada nível
, a interseção é o círculo de raio
. Como esse raio nunca zera, a superfície é conectada e forma um hiperbolóide de uma folha, alongado ao longo do eixo
.
Passo 4
Caso
. Colocando
com
, a equação é
Para
não há pontos reais; para
, a seção em
é o círculo de raio
. Isso gera duas napas desconectadas, uma acima e outra abaixo do plano
: é um hiperbolóide de duas folhas, alinhado ao eixo
.
Passo 5
Como esboçar cada superfície:
- Fixe vários valores de
. - Para cada
, desenhe o círculo em cuja equação é dada pelos passos anteriores. - Una suavemente essas circunferências para formar o cone ou o hiperbolóide correspondente.
Resposta
Para
: cone duplo de vértice na origem.
Para : hiperbolóide de uma folha alongado no eixo
.
Para : hiperbolóide de duas folhas, com napas separadas acima e abaixo do plano
.
Para
Para