Calcule o determinante:
(llll 1 & binomp1 & binomp+12 & binomp+23 1 & binomp+11 & binomp+22 & binomp+33 1 & binomp+21 & binomp+32 & binomp+43 1 & binomp+31 & binomp+42 & binomp+53
Sugestão: Relação de Stifel.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
M= 1 & binomp1 & binomp+12 & binomp+23 [6pt] 1 & binomp+11 & binomp+22 & binomp+33 [6pt] 1 & binomp+21 & binomp+32 & binomp+43 [6pt] 1 & binomp+31 & binomp+42 & binomp+53
O conteúdo inclui a relação de Stifel (ou Pascal)
binomnk=binomn-1k+binomn-1k-1
e propriedades de determinantes de matrizes cujas colunas são polinômios de graus crescentes, o que remete ao determinante de Vandermonde.]

Passo 2

Note que a j-ésima coluna de M (contando a partir de j=0) avalia no elemento da linha i o polinômio
fj(x)=binomx+j-1j,
em que xi=p+i-1 para i=1,2,3,4. Explicitamente:
f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x(x+1)2, f3(x)=x(x+1)(x+2)6
Cada fj é um polinômio de grau j com coeficiente líder tfrac1j!.

Passo 3

O determinante de M é igual ao determinante de Vandermonde nos pontos
xi=p,p+1,p+2,p+3 multiplicado pelo produto dos coeficientes líderes:
det M =l(prod0<= i<j<=3(xj-xi)r)timesprodj=0^31j!
Como xj-xiin1,2,3, temos
prod0<= i<j<=3(xj-xi) =(1)(2)(3)(1)(2)(1)=12
e
prodj=0^31j! =10!,1!,2!,3! =11cdot1cdot2cdot6 =112
Portanto
det M=12cdot112=1

Resposta

O valor do determinante é 1.

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