Determine o valor de m que verifica a igualdade
|ccc Am, 2 & Am, 1 & Am, 0 Cm, 2 & m & 3! m(m-1) & m!(m-1)! & 0 |=-10 m

Passo 1

O enunciado pede para encontrar m tal que o determinante
|ccc Am,2 & Am,1 & Am,0 Cm,2 & m & 3! m(m-1) & dfracm!(m-1)! & 0 |
seja igual a -10m.
Aqui usaremos interpretação de arranjos Am,k=dfracm!(m-k)!, de binomial Cm,2=binomm2=dfracm(m-1)2, cálculo de determinante e resolução de equação polinomial.

Passo 2

Reescrevendo cada entrada em função de m:
Am,2=m(m-1), Am,1=m, Am,0=1,
Cm,2=dfracm(m-1)2,
e dfracm!(m-1)!=m.
Logo a matriz vira
m(m-1) & m & 1 dfracm(m-1)2 & m & 6 m(m-1) & m & 0

Passo 3

Para facilitar o determinante, fazemos a operação de linha
L1>=ts L1-L3, que não altera o valor do determinante. Obtém-se
0 & 0 & 1 dfracm(m-1)2 & m & 6 m(m-1) & m & 0

Passo 4

Expandindo pela primeira linha (único elemento não nulo é a posição (1,3) com valor 1 e cofator +1), o determinante vale
det = 1cdot dfracm(m-1)2 & m m(m-1) & m = m(m-1)2cdot m ;-; m(m-1)cdot m = -m^2l(m-1r)2

Passo 5

A condição do enunciado é
-m^2(m-1)2 = -10m
Multiplicando por -1 e em seguida por 2, temos
m^2(m-1)=20m
Colocando tudo num só lado:
m^2(m-1)-20m=0 ;Longrightarrow; ml[m(m-1)-20r]=0 ;Longrightarrow; m=0 ou m^2-m-20=0
Da equação quadrática m^2-m-20=0 vem
m=1pmraiz1+802 =1pm92,
isto é m=5 ou m=-4.

Passo 6

Como usamos fatorial em arranjos e binomiais, precisamos de m>=2 inteiro. Desse conjunto só sobra
m=5

Resposta

m=5

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