Resolva a equação:
llll x & a & a & a a & x & a & a a & a & x & a a & a & a & x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|cccc x & a & a & a [6pt] a & x & a & a [6pt] a & a & x & a [6pt] a & a & a & x | = 0
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz com diagonal x e resto igual a a. Vamos usar operações de linha para simplificar.]

Passo 2

Aplicamos as operações
R2 to R2 - R1, R3 to R3 - R1, R4 to R4 - R1,
que não alteram o valor do determinante. A matriz fica:
x & a & a & a [3pt] a - x & x - a & 0 & 0 [3pt] a - x & 0 & x - a & 0 [3pt] a - x & 0 & 0 & x - a ]

Passo 3

Da segunda, terceira e quarta linhas, fatoramos (x - a) em cada uma. Isso gera um fator global (x - a)^3, restando o determinante da matriz
B = x & a & a & a [3pt] -1 & 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 0 & 1 & 0 [3pt] -1 & 0 & 0 & 1
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det = (x - a)^3 det(B) ]

Passo 4

Para calcular det(B), expandimos pela primeira coluna:
det(B) = xcdotdet1&0&00&1&00&0&1 -(-1)cdotdeta&a&a0&1&00&0&1 +(-1)cdotdeta&a&a1&0&00&0&1 -(-1)cdotdeta&a&a1&0&00&1&0
Cada uma dessas matrizes 3times 3 é triangular (ou quase), e suas determinantes dão 1, a, -a e a, de modo que
det(B)=x + a + a + a = x + 3a

Passo 5

Concluímos que
det = (x - a)^3,(x + 3a)
Para que seja zero, devemos ter (x - a)^3=0 ou x + 3a=0.

Resposta

As soluções são
x = a (mu<iplicidade 3) ou x = -3a

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