Calcule o determinante:
|llllll 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 & 1 & 5 & 6 2^2 & 3^2 & 4^2 & 1 & 5^2 & 6^2 2^3 & 3^3 & 4^3 & 1 & 5^3 & 6^3 2^4 & 3^4 & 4^4 & 1 & 5^4 & 6^4 2^5 & 3^5 & 4^5 & 1 & 5^5 & 6^5 |

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz 6times6 cujas colunas são dadas por
1 x x^2 x^3 x^4 x^5
para xin2,3,4,1,5,6. O conteúdo é a fórmula de Vandermonde, que nos permite calcular diretamente esse determinante.

Passo 2

Reconhecemos que a matriz é uma matriz de Vandermonde, pois seu elemento na linha i e coluna j é
xj^,i-1,
com (x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (2,3,4,1,5,6).

Passo 3

A fórmula do determinante de Vandermonde é
det = prod1 <= j < k <= 6 (xk - xj)

Passo 4

Calculamos as diferenças para cada par (j,k) com j<k:
Para j=1 ( x1=2):
(x2-x1)(x3-x1)(x4-x1)(x5-x1)(x6-x1) = (3-2)(4-2)(1-2)(5-2)(6-2) = 1cdot2cdot(-1)cdot3cdot4 = -24
Para j=2 ( x2=3):
(4-3)(1-3)(5-3)(6-3) = 1cdot(-2)cdot2cdot3 = -12
Para j=3 ( x3=4):
(1-4)(5-4)(6-4) = (-3)cdot1cdot2 = -6
Para j=4 ( x4=1):
(5-1)(6-1) = 4cdot5 = 20
Para j=5 ( x5=5):
(6-5) = 1

Passo 5

Multiplicando todos esses fatores, obtemos
det = (-24)times(-12)times(-6)times20times1 = -34560

Resposta

-34560

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