Prove que o determinante é múltiplo de 13 , sem desenvolvê-lo:
|lll 1 & 3 & 0 1 & 1 & 7 1 & 5 & 6 |

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 3 & 0 1 & 1 & 7 1 & 5 & 6
e pede para provar que det A é múltiplo de 13 sem desenvolver pelos cofatores. O que vamos usar é que adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o valor do determinante.

Passo 2

Aplicamos duas operações que não mudam det A:
R2' = R2 - R1, R3' = R3 - R1
Isso transforma A em
1 & 3 & 0 0 & -2 & 7 0 & 2 & 6

Passo 3

Agora somamos R2' em R3', o que também preserva o determinante:
R3'' = R3' + R2',
ficando
1 & 3 & 0 0 & -2 & 7 0 & 0 & 13

Passo 4

Com a matriz em forma triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
det A = 1 times (-2) times 13 = -26
Logo, det A = -2 times 13, ou seja, é múltiplo de 13.

Resposta

O determinante é -26, que é múltiplo de 13.

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