Desenvolva o determinante abaixo, pelos elementos da 2^a coluna.
D=|rrrr0 & a & 1 & 0 1 & b & -1 & 1 2 & c & 0 & -1 0 & d & 1 & 0|

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento do determinante
D = |rrrr 0 & a & 1 & 0 1 & b & -1 & 1 2 & c & 0 & -1 0 & d & 1 & 0 |
pelos elementos da 2ª coluna. O tópico utilizado é a expansão de Laplace (cofatores) ao longo de uma coluna, calculando menores e cofatores.

Passo 2

A expansão de Laplace ao longo da coluna j=2 é
D ;=;sumi=1^4(-1)^,i+2,ai2,Mi2,
onde ai2 é o elemento na linha i, coluna 2, e Mi2 é o determinante do menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna 2.

Passo 3

Para i=1: o elemento é a12=a e o sinal é (-1)^1+2=-1. O menor M12 é
|rrr 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 0 |
Calculando por expansão na 1^ªª linha:
1cdotdet l[0&-11&0r] - det l[2&-10&0r] +1cdotdet l[2&00&1r] = 1cdot1 - 0 + 2 = 3.
Contribuição: -1cdot acdot3 = -3a.

Passo 4

Para i=2: o elemento é a22=b e o sinal é (-1)^2+2=+1. O menor M22 é
|rrr 0 & 1 & 0 2 & 0 & -1 0 & 1 & 0 |
Expandindo na 1ª linha obtém-se zero. Contribuição: +1cdot bcdot0 = 0.

Passo 5

Para i=3: o elemento é a32=c e o sinal é (-1)^3+2=-1. O menor M32 é
|rrr 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 |
Também dá zero. Contribuição: -1cdot ccdot0 = 0.

Passo 6

Para i=4: o elemento é a42=d e o sinal é (-1)^4+2=+1. O menor M42 é
|rrr 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 |
Expandindo na 1ª linha:
-1 cdotdet l[1&12&-1r] = -1)cdot((-1)-2)=3.
Contribuição: +1cdot dcdot3 = 3d.

Passo 7

Somando todas as contribuições:
D = -3a + 0 + 0 +3d = 3(d - a)

Resposta

D = 3,(d - a)

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