Calcule os determinantes:
\left| rrrr1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 5 & 7 4 & 9 & 25 & 49 8 & 27 & 125 & 343\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 5 & 7 4 & 9 & 25 & 49 8 & 27 & 125 & 343
Repare que a entrada da linha i e coluna j é exatamente aj^,i-1 com a1,a2,a3,a4=2,3,5,7. O conteúdo aqui é o determinante de Vandermonde.

Passo 2

Uma matriz de Vandermonde de ordem n com nós x1,dots,xn é
V = l[xj^,i-1r]1<= i,j<= n,
e seu determinante satisfaz a fórmula fechada abaixo.

Passo 3

A fórmula do determinante de Vandermonde é
det V = prod1<= i<j<= n(xj - xi)
No nosso caso n=4 e (x1,x2,x3,x4)=(2,3,5,7).

Passo 4

Compute-se as diferenças em pares:
3-2 = 1, 5-2 = 3, 7-2 = 5,
5-3 = 2, 7-3 = 4, 7-5 = 2

Passo 5

Multiplicando todas as diferenças conforme a fórmula de Vandermonde:
det A = 1 times 3 times 5 times 2 times 4 times 2 = 240

Resposta

240

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