Calcule os determinantes:
|rrrr1 & 2 & 0 & 4 2 & -3 & 5 & 1 1 & 6 & 3 & -1 3 & 2 & 1 & 4|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo aqui é propriedade de determinantes e operações elementares de linha para simplificar o cálculo. A matriz é
A = 1 & 2 & 0 & 4 2 & -3 & 5 & 1 1 & 6 & 3 & -1 3 & 2 & 1 & 4

Passo 2

Vamos usar operações de linha para zerar os elementos abaixo de a11=1, sem alterar o valor de det A:
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - R1, R4 R4 - 3R1
Isso leva à matriz
1 & 2 & 0 & 4 0 & -7 & 5 & -7 0 & 4 & 3 & -5 0 & -4 & 1 & -8

Passo 3

Agora expandimos det A pela primeira coluna, pois só o elemento a11=1 é não-nulo nessa coluna:
det A = 1 times det -7 & 5 & -7 4 & 3 & -5 -4 & 1 & -8
Então basta calcular o determinante do 3times3 acima, que chamamos de M.

Passo 4

Para det M usamos expansão de Laplace na primeira linha de
M = -7 & 5 & -7 4 & 3 & -5 -4 & 1 & -8
Fica
det M = (-7)det3 & -51 & -8 - 5det4 & -5-4 & -8 +(-7)det4 & 3-4 & 1
Calculando cada menor:
det3 & -51 & -8 =3cdot(-8)-(-5)cdot1=-24+5=-19,
det4 & -5-4 & -8 =4cdot(-8)-(-5)cdot(-4)=-32-20=-52,
det4 & 3-4 & 1 =4cdot1-3cdot(-4)=4+12=16
Substituindo,
det M = (-7)cdot(-19)-5cdot(-52)+(-7)cdot16 =133+260-112=281
Portanto det A=1cdot281=281.

Resposta

281

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