Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=[rrrr3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M= 3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3
usando o teorema de Laplace, que nos diz que podemos expandir o determinante ao longo de qualquer linha ou coluna, somando os produtos de cada elemento pelo menor correspondente e pelo sinal (-1)^i+j.

Passo 2

Observe que a terceira linha de M tem três zeros e apenas o elemento m33=4 não nulo. Isso facilita muito a expansão. Aplicando Laplace na linha 3:
det(M) =sumj=1^4(-1)^3+j,m3j,det(menor3j) =(-1)^3+3cdot4cdotdet(menor33)

Passo 3

O sinal (-1)^3+3 é positivo, logo
det(M)=4;det(menor33),
onde o menor menor33 é a matriz 3times3 obtida eliminando a linha 3 e a coluna 3 de M:
menor33 = 3 & 4 & 1 5 & 0 & -2 -1 & 0 & 3

Passo 4

Para calcular det(menor33) podemos usar novamente Laplace, agora ao longo da segunda coluna, pois ela tem dois zeros:
det(menor33) =sumi=1^3(-1)^i+2,ai2,det(menori2) = (-1)^1+2cdot4cdotdet5 & -2-1 & 3
Aqui a12=4 e os outros ai2 são zero.

Passo 5

Calcule agora o determinante 2times2:
det5 & -2-1 & 3 =5cdot3-(-2)cdot(-1) =15-2 =13
Portanto,
det(menor33) =-,4cdot13 =-52

Passo 6

Voltando à expressão de det(M):
det(M)=4cdot(-52)=-208

Resposta

det(M)=-208

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