Prove que:
|ccc a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 (a+2)^2 & (a+4)^2 & (a+6)^2 (a+4)^2 & (a+6)^2 & (a+8)^2 |=-2^9

82. ( P11 ) Matriz triangular

Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados “de um mesmo lado” da diagonal principal são iguais a zero, isto é, M=(aij) é triangular se
aij=0 para i<j
ou
aij=0 para i>j
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Demonstração:
Consideremos a matriz triangular em que aij=0 para i<j (o caso aij=0 para i>j é análogo).
M=[cccccc a11 & 0 & 0 & 0 & ldots & 0 a21 & a22 & 0 & 0 & ldots & 0 a31 & a32 & a33 & 0 & ldots & 0 ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots & ldots ldots ldots & ldots ldots & ldots ldots & ldots ldots & ldots an 1 & an 2 & an 3 & & ldots & an n ]
Aplicando sucessivamente o teorema de Laplace, através da 1å linha, é imediato que:
det M=a11 cdot a22 cdot ldots cdot an n=prodi=1^n(ai i)
Exemplos:
19) |lll3 & 0 & 0 2 & 5 & 0 4 & 3 & 1|=3 cdot 5 cdot 1=15

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 (a+2)^2 & (a+4)^2 & (a+6)^2 (a+4)^2 & (a+6)^2 & (a+8)^2
que é um problema de determinantes de matrizes numéricas em que podemos usar operações elementares de linha e, em seguida, reconhecer um determinante de Vandermonde. Vamos aplicar progressivamente operações que não alteram a essência do determinante (exceto por fatores constantes ou mudança de sinal em permutações de linhas).

Passo 2

Aplicamos as seguintes operações de linha, todas sem alterar o valor do determinante:
L2 L2 - L1, L3 L3 - L2 (após o primeiro passo) ó
Em detalhe,
L2 - L1 = l((a+2)^2-a^2,,(a+4)^2-(a+2)^2,,(a+6)^2-(a+4)^2r) = (4a+4,;4a+12,;4a+20),
e em seguida L3 - (L2 atualizado) = l((a+4)^2-(a+2)^2,,(a+6)^2-(a+4)^2,,(a+8)^2-(a+6)^2r) = (4a+12,;4a+20,;4a+28)
O determinante permanece o mesmo, então agora temos
det A = det a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 4a+4 & 4a+12 & 4a+20 4a+12 & 4a+20 & 4a+28

Passo 3

Para simplificar ainda mais, subtraímos a nova segunda linha da nova terceira linha:
L3 L3 - L2 ;Longrightarrow; L3 = (8,;8,;8),
sem alterar o determinante. Então
det A = det a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 4a+4 & 4a+12 & 4a+20 8 & 8 & 8
Agora fatoramos constantes de linha: de L2 tiramos 4 e de L3 tiramos 8. Como fatorar um escalar k numa linha multiplica o determinante por k, obtemos
det A = 4cdot 8;det a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 a+1 & a+3 & a+5 1 & 1 & 1 =32;det B,
onde
B = a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 a+1 & a+3 & a+5 1 & 1 & 1

Passo 4

Reconhecemos que, se definirmos
u = a, v = a+2, w = a+4,
então
B = u^2 & v^2 & w^2 u+1 & v+1 & w+1 1 & 1 & 1
Agora permutamos L1rightarrow L3; uma única troca de linhas inverte o sinal do determinante. Chamando essa nova matriz de N, temos
det B = -,det N, N = 1 & 1 & 1 u+1 & v+1 & w+1 u^2 & v^2 & w^2
Mas N é exatamente a forma clássica de Vandermonde para os pontos x1=u+1,;x2=v+1,;x3=w+1. Logo
det N = (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2) = l((v+1)-(u+1)r)l((w+1)-(u+1)r)l((w+1)-(v+1)r)
Substituindo v-u=2, w-u=4, w-v=2, obtemos
det N = 2 cdot 4 cdot 2 =16,
e portanto
det B = -,det N = -16

Passo 5

Voltando ao fator extraído, concluímos
det A = 32;det B = 32 times (-16) = -512 = -2^9

Resposta

|ccc a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 (a+2)^2 & (a+4)^2 & (a+6)^2 (a+4)^2 & (a+6)^2 & (a+8)^2 | ;=;-2^9

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