Mostre que ( a+b+c ) é fator de:
|ccc (b+c)^2 & b^2 & c^2 a^2 & (a+c)^2 & c^2 a^2 & b^2 & (a+b)^2 |

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (a+b+c) divide o determinante
D= (b+c)^2 & b^2 & c^2 a^2 & (a+c)^2 & c^2 a^2 & b^2 & (a+b)^2
O conteúdo usado será polinômios multivariáveis e a propriedade de que, se ao substituir c=-a-b num polinômio P(a,b,c) obtivermos zero, então (a+b+c) é fator de P.

Passo 2

Aplicamos a substituição
c = -,l(a+br)
no determinante D e reescrevemos cada entrada:
1. b+c = b - (a+b) = -a, logo (b+c)^2=a^2.
2. a+c = a - (a+b) = -b, logo (a+c)^2=b^2.
3. c = -,(a+b), logo c^2=(a+b)^2.

Passo 3

Sob essa substituição, as três linhas de D tornam-se idênticas:
Linha 1: l((b+c)^2,,b^2,,c^2r) = (a^2,,b^2,,(a+b)^2),
Linha 2: l(a^2,,(a+c)^2,,c^2r) = (a^2,,b^2,,(a+b)^2),
Linha 3: l(a^2,,b^2,,(a+b)^2r).

Passo 4

Como as três linhas coincidem, o determinante vale zero após c=-a-b. Ou seja,
Dl(a,b,,-(a+b)r)=0
Pelo critério de divisibilidade em polinômios multivariáveis, isso implica que (a+b+c) é fator de D.

Resposta

Mostramos que ao substituir c=-a-b o determinante zera, logo ,(a+b+c) é de fato fator de
(b+c)^2 & b^2 & c^2 a^2 & (a+c)^2 & c^2 a^2 & b^2 & (a+b)^2

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