O conteúdo usado será polinômios multivariáveis e a propriedade de que, se ao substituir c=-a-b num polinômio P(a,b,c) obtivermos zero, então (a+b+c) é fator de P.
Passo 2
Aplicamos a substituição
c = -,l(a+br)
no determinante D e reescrevemos cada entrada: 1.b+c = b - (a+b) = -a, logo (b+c)^2=a^2. 2.a+c = a - (a+b) = -b, logo (a+c)^2=b^2. 3.c = -,(a+b), logo c^2=(a+b)^2.
Passo 3
Sob essa substituição, as três linhas de D tornam-se idênticas:
Linha 1: l((b+c)^2,,b^2,,c^2r) = (a^2,,b^2,,(a+b)^2),
Linha 2: l(a^2,,(a+c)^2,,c^2r) = (a^2,,b^2,,(a+b)^2),
Linha 3: l(a^2,,b^2,,(a+b)^2r).
Passo 4
Como as três linhas coincidem, o determinante vale zero após c=-a-b. Ou seja,
Dl(a,b,,-(a+b)r)=0
Pelo critério de divisibilidade em polinômios multivariáveis, isso implica que (a+b+c) é fator de D.
Resposta
Mostramos que ao substituir c=-a-b o determinante zera, logo ,(a+b+c) é de fato fator de
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 299