Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace. e) M=[llllllx & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a & y & 0 & 0 & 0 & 0 l & p & z & 0 & 0 & 0 m & n & p & x & 0 & 0 b & c & d & e & y & 0 a & b & c & d & e & z]
Passo 1
O enunciado pede o cálculo dos determinantes de duas matrizes usando o teorema de Laplace. Vamos usar expansão por Laplace em linhas ou colunas que tenham muitos zeros, reduzindo o problema a determinantes de matrizes menores. Também vale lembrar que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 2
Para
M= 0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0 ,
observamos que a primeira coluna tem dois zeros. Expandimos por ela:
det(M) =sumi=1^4(-1)^i+1mi1,det(Mi1)
como m11=m21=0, sobram apenas m31=a e m41=1.
Passo 3
Calculamos os menores correspondentes:
. Removendo a linha e a coluna , o sub-determinante é
Expansão pela ª linha (único elemento não nulo é em , sinal ) dá
. Removendo a linha e a coluna , o sub-determinante é
De novo, expansão pela ª linha dá
Passo 4
Aplicando os sinais da expansão:
det(M) = acdot(+1)cdot a ;+; 1cdot(-1)cdot(-b^2) = a^2 + b^2
Passo 5
Agora para
M= x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a & y & 0 & 0 & 0 & 0 l & p & z & 0 & 0 & 0 m & n & p & x & 0 & 0 b & c & d & e & y & 0 a & b & c & d & e & z ,
vemos que a primeira linha tem só m11=xneq0. Expandimos por ela:
det(M)=xcdot(-1)^1+1det(M11)=x,det(M11)
Passo 6
No menor M11 (matriz 5times5 obtida ao remover 1ª linha e 1ª coluna) a sua primeira linha tem só um elemento não nulo, y em (1,1). Logo
det(M11)=ycdotdet(M11,11)
Passo 7
O próximo menor é uma matriz 4times4 cuja primeira linha tem só zneq0 em (1,1). Então
det= zcdotdet(4times4 menor)
Passo 8
Esse menor 4times4 é triangular inferior, com diagonal (x,y,z). Logo
det(4times4 maior) = xcdot ycdot z
Passo 9
Multiplicando todos os fatores das expansões sucessivas, obtemos
det(M) = x ;times; y ;times; z ;times;(x,y,z) = x^2y^2z^2
Resposta
Para a matriz 4times4: det(M)=a^2+b^2.
Para a matriz 6times6: det(M)=x^2y^2z^2.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 275.b