Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=[llll1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = 1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3
e pede det M usando o teorema de Laplace (expansão em cofatores).

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira linha. A fórmula de Laplace diz
det M ;=;sumj=1^4 a1j,C1j
onde
C1j = (-1)^1+jdetl(M1jr)
e M1j é a matriz que sobra ao retirar a linha 1 e a coluna j. Como a14=0, só precisamos de j=1,2,3:
det M = 1cdot C11 + 3cdot C12 + 2cdot C13,

Passo 3

Vamos calcular det(M11), det(M12) e det(M13) por regra de Sarrus ou expansão:
bul<=t M11 retira linha 1 e coluna 1, fica
1 & 0 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 3 ,
det(M11) =1,(0cdot3-1cdot1) -0,(3cdot3-1cdot2) +2,(3cdot1-0cdot2) =-1 + 0 + 6 = 5
bul<=t M12 retira linha 1 e coluna 2, fica
3 & 0 & 2 2 & 0 & 1 0 & 1 & 3 ,
det(M12) =3,(0cdot3-1cdot1) -0,(2cdot3-1cdot0) +2,(2cdot1-0cdot0) =-3 + 0 + 4 = 1
bul<=t M13 retira linha 1 e coluna 3, fica
3 & 1 & 2 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3 ,
det(M13) =3,(3cdot3-1cdot2) -1,(2cdot3-1cdot0) +2,(2cdot2-3cdot0) =3cdot7 - 1cdot6 + 2cdot4 =21 - 6 + 8 = 23

Passo 4

Agora os cofatores valem
C11=(-1)^2cdot5=5, C12=(-1)^3cdot1=-1, C13=(-1)^4cdot23=23
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det M =1cdot5 + 3cdot(-1) + 2cdot23 =5 - 3 + 46 =48

Resposta

det M = 48

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