Calcule os determinantes, com o auxílio da regra de Chió.
|lll1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3
usando a regra de Chió. Vamos usar que, se a11=1, então
det A ;=;det M,
onde M é a matriz 2times2 cujos elementos são
mij = det 1 & a1,j+1[6pt] ai+1,1 & ai+1,j+1
Também vamos precisar da fatoração da diferença de cubos
,x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).
]

Passo 2

Como , construímos removendo primeira linha e coluna e substituindo cada entrada pelo menor segundo Chió:
]

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det M = (b-a)(c^3-a^3);-;(c-a)(b^3-a^3)

Passo 4

Usamos a fatoração da diferença de cubos:
b^3 - a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2), c^3 - a^3 = (c-a)(c^2+ac+a^2)
Substituindo em det M:
det M = (b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2) - (c-a)(b-a)(b^2+ab+a^2)
Fatorando (b-a)(c-a):
det M = (b-a)(c-a)l[(c^2+ac+a^2)-(b^2+ab+a^2)r] = (b-a)(c-a)l(c^2 - b^2 + a(c-b)r)
E ainda
c^2 - b^2 + a(c-b) = (c-b)(c+b) + a(c-b) = (c-b)(a+b+c)

Passo 5

Portanto
det A = det M = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)

Resposta

det 1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3 = (b-a),(c-a),(c-b),(a+b+c)

Exercícios de Livros Relacionados