Se a, b, c são reais, mostre que:
ccc 1 & sen a & cos a 1 & sen b & cos b 1 & sen c & cos c

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
D = 1 & sena & cos a 1 & senb & cos b 1 & senc & cos c
e mostrar que ele vale
4,senb-c2,sena-c2,sena-b2
O conteúdo principal aqui é manipular determinantes e usar as fórmulas de soma e diferença para seno e cosseno.

Passo 2

Aplicamos a operação de linha L2>=ts L2-L1 e L3>=ts L3-L1. Isso não altera o valor de D, mas reduz para
D = 1 & sena & cos a 0 & senb-sena & cos b-cos a 0 & senc-sena & cos c-cos a = senb-sena & cos b-cos a senc-sena & cos c-cos a

Passo 3

Escrevemos cada diferença usando fórmulas trigonométricas:
senb-sena =2cosb+a2,senb-a2, cos b-cos a =-2senb+a2,senb-a2,
senc-sena =2cosc+a2,senc-a2, cos c-cos a =-2senc+a2,senc-a2

Passo 4

Substituindo essas expressões em D, obtemos
D = 2cosb+a2,senb-a2 & -2senb+a2,senb-a2[6pt] 2cosc+a2,senc-a2 & -2senc+a2,senc-a2
Fatorando -4,sentfracb-a2,sentfracc-a2 do determinante, fica
D = -4,sentfracb-a2,sentfracc-a2 -cosb+a2 & senb+a2[3pt] -cosc+a2 & senc+a2
Esse 2times2 vale
cosb+a2,senc+a2 - cosc+a2,senb+a2 = -,senl(tfracb+a2-tfracc+a2r) = -,senb-c2 ]

Passo 5

Logo
D = -4,sentfracb-a2,sentfracc-a2,l(-sentfracb-c2r) =4,sentfracb-a2,sentfracc-a2,sentfracb-c2
Como senb-a2=-sena-b2 e senc-a2=-sena-c2, trocando sinais duas vezes,
D=4,senb-c2,sena-c2,sena-b2

Resposta

1 & sena & cos a 1 & senb & cos b 1 & senc & cos c =4,senb-c2,sena-c2,sena-b2

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