Calcule o valor do determinante:
|cccc 1 & 1 & 1 & 1 log 2 & log 20 & log 200 & log 2000 (log 2)^2 & (log 20)^2 & (log 200)^2 & (log 2000)^2 (log 2)^3 & (log 20)^3 & (log 200)^3 & (log 2000)^3 |

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
1 & 1 & 1 & 1 log 2 & log 20 & log 200 & log 2000 (log 2)^2 & (log 20)^2 & (log 200)^2 & (log 2000)^2 (log 2)^3 & (log 20)^3 & (log 200)^3 & (log 2000)^3
que é exatamente uma matriz de Vandermonde nas variáveis
x1 = log 2, x2 = log 20, x3 = log 200, x4 = log 2000
Para resolver, usamos a fórmula do determinante de Vandermonde.

Passo 2

A fórmula do determinante de Vandermonde para quatro variáveis é
det = prod1 <= i < j <= 4l(xj - xir)

Passo 3

Calculemos cada diferença:
x2 - x1 &= log 20 - log 2 = log!l(tfrac202r) = log(10), x3 - x1 &= log 200 - log 2 = log!l(tfrac2002r) = log(100) = 2,log(10), x4 - x1 &= log 2000 - log 2 = log!l(tfrac20002r) = log(1000) = 3,log(10), x3 - x2 &= log 200 - log 20 = log(10), x4 - x2 &= log 2000 - log 20 = log(100) = 2,log(10), x4 - x3 &= log 2000 - log 200 = log(10)

Passo 4

Multiplicando todas as diferenças, obtemos
det = l(log(10)r)cdotl(2log(10)r)cdotl(3log(10)r)cdotl(log(10)r)cdotl(2log(10)r)cdotl(log(10)r) = 12,l(log(10)r)^6

Resposta

12,l(log(10)r)^6

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