Calcule o dígito da ordem das dezenas das expansões de:
b) 7^100

Passo 1

O enunciado pede o dígito das dezenas de 7^100. Isso envolve encontrar as duas últimas casas decimais de 7^100 e, a partir delas, extrair o algarismo das dezenas. O conteúdo principal aqui é aritmética modular (últimas casas) e o Teorema de Euler.

Passo 2

Para obter o dígito das dezenas de 7^100 basta calcular
7^100bmod100,
pois esse resto fornece as duas últimas casas decimais, e a dezena é o quociente inteiro de l(7^100bmod100r) por 10.

Passo 3

Como gcd(7,100)=1 e varphi(100)=40, o Teorema de Euler garante que
7^40equiv1pmod100

Passo 4

Escrevendo 100=40cdot2+20, temos
7^100=7^40cdot2+20=(7^40)^2cdot7^20equiv1^2cdot7^20equiv7^20pmod100

Passo 5

Note que
7^4 = 2401 equiv 1 pmod100,
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7^20 = (7^4)^5 equiv 1^5 equiv 1 pmod100

Passo 6

Portanto
7^100equiv1pmod100,
o que significa que as duas últimas casas são “01”. O dígito das dezenas é então 0.

Resposta

0

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