Dado 3.y7z, substitua as letras por algarismos, de modo que se obtenha um número divisível, ao mesmo tempo, por 2 e 3.

Passo 1

O enunciado pede para substituir as letras y e z por dígitos de modo que o número de quatro algarismos
3y7z
seja divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
O que precisamos usar:
– Divisibilidade por 2: o último dígito ( z) deve ser par.
– Divisibilidade por 3: a soma dos dígitos deve ser múltipla de 3.

Passo 2

  1. Como o número deve ser divisível por 2, temos
z in 0,2,4,6,8
  1. Como o número deve ser divisível por 3, a soma dos dígitos
3 + y + 7 + z = y + z + 10
deve ser múltipla de 3. Ou seja,
y + z + 10 equiv 0 pmod3 Longrightarrow y + z equiv 2 pmod3

Passo 3

Para cada valor de zin0,2,4,6,8 resolvemos
y + z equiv 2 pmod3
e achamos os yin0,1,2,dots,9:
Para z=0 temos yequiv2pmod3, logo
yin2,5,8
Para z=2 temos yequiv0pmod3, logo
yin0,3,6,9
Para z=4 temos yequiv1pmod3, logo
yin1,4,7
Para z=6 temos yequiv2pmod3, logo
yin2,5,8
Para z=8 temos yequiv0pmod3, logo
yin0,3,6,9

Passo 4

Cada par (y,z) acima gera um número 3y7z divisível por 6. Os 17 números resultantes são:
3270, 3570, 3870,
3072, 3372, 3672, 3972,
3174, 3474, 3774,
3276, 3576, 3876,
3078, 3378, 3678, 3978.

Resposta

3270, 3570, 3870, 3072, 3372, 3672, 3972, 3174, 3474, 3774, 3276, 3576, 3876, 3078, 3378, 3678, 3978.

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