Qual é a posição relativa de λ e λ^prime nos seguintes casos:
λ: x^2+y^2-4 x-6 y+12=0
e λ^prime: x^2+y^2+4 x-12 y+24=0

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências em forma geral e pede a posição relativa entre elas, ou seja, se são disjuntas, se se tangenciam (interna ou externamente), ou se se intersectam. Para isso vamos:
1) encontrar centro e raio de cada circunferência completando quadrados;
2) calcular a distância entre os centros;
3) comparar essa distância com a soma e a diferença dos raios.

Passo 2

Para lambda: x^2+y^2-4x-6y+12=0 completamos quadrados:
x^2-4x + y^2-6y +12 = (x-2)^2-4 + (y-3)^2-9 +12 = (x-2)^2 + (y-3)^2 -1
Logo
(x-2)^2 + (y-3)^2 = 1,
então o centro é C=(2,3) e o raio é r=1.

Passo 3

Para lambda': x^2+y^2+4x-12y+24=0 completamos quadrados:
x^2+4x + y^2-12y +24 = (x+2)^2-4 + (y-6)^2-36 +24 = (x+2)^2 + (y-6)^2 -16
Logo
(x+2)^2 + (y-6)^2 = 16,
então o centro é C'=(-2,6) e o raio é r'=4.

Passo 4

Calculamos a distância entre C e C':
d = raiz(2 - (-2))^2 + (3-6)^2 = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16+9 =5
Comparando com os raios:
r + r' = 1 + 4 = 5, |r'-r| = |4 - 1| = 3
Como d = r + r', as circunferências são tangentes externamente.

Resposta

As circunferências são tangentes externamente.

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