Calcule a distância da origem ao plano x+2 y+3 z=14. Sugestão: minimize w=x^2+y^2+z^2 tratando y e z como variáveis independentes.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto (0,0,0) ao plano
x + 2y + 3z = 14
O conteúdo aqui é otimização com restrição: queremos minimizar a distância ao plano, isto é, minimizar
w = x^2 + y^2 + z^2
sujeito à condição do plano. Uma vez obtido o mínimo de w, a distância será raizwmin.

Passo 2

Usamos a equação do plano para escrever x em função de y e z. Da equação
x + 2y + 3z = 14
segue
x = 14 - 2y - 3z

Passo 3

Substituímos essa expressão em
w = x^2 + y^2 + z^2
para obter uma função de duas variáveis:
w(y,z) = (14 - 2y - 3z)^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de w(y,z) e igualamos a zero para encontrar o ponto estacionário.
A derivada em relação a y é
partial wpartial y = 2(14 - 2y - 3z)(-2) + 2y = -4(14 - 2y - 3z) + 2y,
e impomos partial wpartial y=0.
A derivada em relação a z é
partial wpartial z = 2(14 - 2y - 3z)(-3) + 2z = -6(14 - 2y - 3z) + 2z,
e impomos partial wpartial z=0.

Passo 5

Do sistema
desenvolvendo obtemos
Resolvendo essas duas equações lineares, por exemplo multiplicando a primeira por
subtraindo obtém-se
Substituindo em (10y+12z=56] dá

Então

]

Passo 6

O valor mínimo de w em (x,y,z)=(1,2,3) é
wmin = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 +4 +9 =14

Passo 7

A distância do ponto à reta é raizwmin, logo
d = raiz14

Resposta

raiz14

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