Calcule a distância da origem ao plano
. Sugestão: minimize
tratando
e
como variáveis independentes.
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto
ao plano
O conteúdo aqui é otimização com restrição: queremos minimizar a distância ao plano, isto é, minimizar
sujeito à condição do plano. Uma vez obtido o mínimo de
, a distância será
.
Passo 2
Usamos a equação do plano para escrever
em função de
e
. Da equação
segue
Passo 3
Substituímos essa expressão em
para obter uma função de duas variáveis:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero para encontrar o ponto estacionário.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
e impomos
.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
e impomos
.
Passo 5
Do sistema
desenvolvendo obtemos
Resolvendo essas duas equações lineares, por exemplo multiplicando a primeira por
subtraindo obtém-se
Substituindo em (10y+12z=56] dá
Então
]
Então
]
Passo 6
O valor mínimo de
em
é
Passo 7
A distância do ponto à reta é
, logo