Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{2 a \cos \varphi} \int_{0}^{2 \pi} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \theta d \rho d \varphi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada em coordenadas esféricas
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2a\cos\varphi}\int_{0}^{2\pi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\theta\,d\rho\,d\varphi.
Aqui usamos a interpretação geométrica de que \rho, \theta e \varphi são as coordenadas esféricas padrão, e o fator \rho^{2}\sin\varphi já é o elemento de volume.

Passo 2

Primeiro integramos em \theta, que não aparece no integrando, de 0 a 2\pi. Isso dá simplesmente um fator 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.

Passo 3

Em seguida, integramos em \rho de 0 a 2a\cos\varphi:
\int_{0}^{2a\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho =\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2a\cos\varphi} =\frac{(2a\cos\varphi)^{3}}{3} =\frac{8a^{3}\cos^{3}\varphi}{3}.
Logo, até aqui temos
2\pi\cdot\frac{8a^{3}\cos^{3}\varphi}{3} =\frac{16\pi a^{3}\cos^{3}\varphi}{3}.

Passo 4

Agora resta a integral em \varphi de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Fazendo a substituição u=\cos\varphi, temos du=-\sin\varphi\,d\varphi, e quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/4, u=\tfrac{\sqrt2}{2}. Logo,
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{\tfrac{\sqrt2}{2}}u^{3}(-du) =\int_{\tfrac{\sqrt2}{2}}^{1}u^{3}\,du =\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{\tfrac{\sqrt2}{2}}^{1} =\frac{1}{4}-\frac{(\tfrac{\sqrt2}{2})^{4}}{4} =\frac{1}{4}-\frac{1/4}{4} =\frac{3}{16}.

Passo 5

Multiplicando esse resultado pelo fator que ficou em a e \pi:
\frac{16\pi a^{3}}{3}\times\frac{3}{16} =\pi a^{3}.

Resposta

\pi a^{3}

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